Matematica (2010/2011)



Codice insegnamento
4S00181
Crediti
9
Coordinatore
Letizia Pellegrini
Settore disciplinare
SECS-S/06 - METODI MATEMATICI DELL'ECONOMIA E DELLE SCIENZE ATTUARIALI E FINANZIARIE
Lingua di erogazione
Italiano
L'insegnamento è organizzato come segue:
Attività Crediti Periodo Docenti Orario
lezione 6 Primo semestre Letizia Pellegrini
esercitazione 3 Primo semestre Elisa Pagani, Letizia Pellegrini

Obiettivi formativi

Il corso ha lo scopo di fornire la conoscenza delle nozioni e dei modelli matematici di base.

Programma

Elementi di base
Cenni di logica matematica. Insiemi. Sottoinsiemi. Insieme delle parti. Unione, intersezione. Insieme complementare. Prodotto cartesiano di insiemi. Funzioni. Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali. Equazioni e disequazioni. Intervalli. Valore assoluto, distanza, intorno, cenni di topologia in R. Maggiorante e minorante. Massimo e minimo. Estremo superiore ed estremo inferiore. Insieme limitato e illimitato.

Funzioni di una variabile (reale)
Grafico di una funzione. Proprietà delle funzioni. Funzione inversa. Funzione composta. Funzione identità. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzioni potenza, funzione omografica, funzione esponenziale, funzione logaritmica.

Limiti
Definizione di limite. Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno, del confronto. Algebra dei limiti. Continuità. Calcolo di limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Infiniti e infinitesimi.

Calcolo differenziale
Definizione di derivata. Funzione derivabile. Retta tangente. Differenziabilità. Derivata di ordine n. Regole di derivazione. Proprietà della derivata. Estremanti relativi. Punti stazionari. Teoremi di Rolle e di Lagrange. I teoremi di De l'Hôpital. Funzioni convesse. Convessità e segno della derivata seconda. Punti di flesso. Studio di funzione.

Teoria dell'integrazione
Definizione di integrale di Riemann. Condizione di integrabilità di Riemann. Integrale definito; proprietà. Condizioni sufficienti di integrabilità. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Calcolo dell'integrale mediante una primitiva. Metodi elementari di integrazione. Integrazione per parti e per sostituzione.

Spazi
Gli spazi vettoriali. Lo spazio R alla n. Struttura algebrica e struttura metrica: addizione e moltiplicazione scalare, prodotto scalare, norma, distanza. Sottospazio. Combinazione lineare. Dipendenza e indipendenza lineare. Insieme di generatori. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Base canonica di R alla n.

Matrici
Matrice. Operazioni sulle matrici: addizione e moltiplicazione scalare. Moltiplicazione righe per colonne di matrici. Matrici invertibili. Matrice trasposta. Matrici simmetriche.
Complemento algebrico. Definizione costruttiva di determinante. Alcune proprietà del determinante. Regola di Sarrus. Teoremi di Laplace. Caratterizzazione delle matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice. Proprietà del rango.

Sistemi di equazioni lineari
Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer. Regola di Cramer per il calcolo delle soluzioni di un sistema. Sistemi omogenei e sistemi parametrici. Trasformazioni lineari.

Funzioni di più variabili (reali)
Dominio e curve di livello. Continuità, derivabilità parziale, gradiente e differenziabilità. Punti stazionari. Matrice hessiana.

Modalità di svolgimento delle lezioni
Il corso prevede 6 crediti (pari a 48 ore) di lezione e 3 crediti (pari a 36 ore) di esercitazione.

Testo di riferimento
A Guerraggio, "Matematica", seconda edizione, Pearson Paravia Bruno Mondadori, 2009

Modalità d'esame

L’esame consiste in una prova scritta e una prova orale.
La prova scritta è divisa in due parti: un test preliminare a risposta multipla ed una seconda parte che consiste nella risoluzione di 4 esercizi.
E’ richiesto un punteggio minimo nella prova scritta per essere ammessi alla prova orale.